继续研究量子力学,《张朝阳的物理课》讨论氢原子问题

更新时间:2022-01-17 09:36浏览人数:15

1月16日12时,《张朝阳的物理课》第二十期开播。搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间,继续研究量子力学。课程中,他带着网友复习无限深势阱的薛定谔方程的解、简述解氢原子问题的重大意义;介绍算符对易关系和运算规则,尝试在三维空间坐标系下应用薛定谔方程,研究氢原子的定态解并寻找新的正则变量,将二体系统化为质心运动部分与相对运动部分,为后续课程解决氢原子问题,做好知识和推导上的准备。

“前面用两堂课来介绍量子力学发现的背景,上一讲正式谈量子力学,初步‘尝’了一下薛定谔方程怎么解。今天我们‘进军’氢原子,研究氢原子最简单的状况。”张朝阳直奔主题,“我对氢原子很感兴趣,理解了氢原子问题,我们将来就有可能理解万物。”他说,“不过,别小看氢原子,要解起来太复杂。”

算符乘法讲究对易关系左右顺序在此非常关键

“我们只学会一丁点儿量子力学的知识,就来解最难的氢原子问题。”为解决氢原子问题,张朝阳进一步介绍算符的运算规则与对易关系。

他指出,算符可以相加,算符之和作用到波函数上,定义为分别作用到波函数上再求和。加法满足交换率与结合率,跟传统的加法无异,但是算符的乘法就与传统的乘法非常不同了。算符之积作用到波函数上,定义为先作用右边的算符再作用左边的算符。这样算符的乘积里左边算符与右边算符位置是不能随意交换的,即算符之积不满足交换率,这导致了量子力学与经典力学有非常不同的性质。为了描述这种乘积顺序的不对易性,我们引入“对易关系”,将两个算符之积的不同顺序相减,具体用数学符号表示为:

张朝阳具体介绍算符的加法乘法与对易关系之间的运算规则,他边说边在“直播小白板”上推导:

▲对易关系与加法乘法的运算规则

他指出,了解这些算符的运算规则,才能顺利解氢原子的薛定谔方程。

两体系统选取质心坐标分离变量体现内部特征

实际上,氢原子由质子与电子组成,其薛定谔方程包含描述质子与电子的算符,是个二体系统,张朝阳向网友展现氢原子的薛定谔方程:

张朝阳介绍,虽然氢原子的薛定谔方程中,电子与质子的动能项是分开的,但由于质子与电子之间的势能与他们之间的相对距离有关,所以不能单纯地把电子与质子分开,会导致这个方程变得很复杂。他表示,要解这个方程,需要重新找一组变量,新的这组变量不仅需要满足原来的正则对易关系,而且可以将复杂的二体薛定谔方程分解成单体薛定谔方程。

张朝阳讲到,根据势能只与电子和质子的相对距离有关这个性质,可考虑将电子与质子组成的二体系统,分解为相对运动与质心运动,新的这组变量与原来的质子电子变量形成关系。

经过推导,张朝阳带着网友证明了这组新的变量满足正则对易关系。

另外,他们还发现,利用这组新变量可将原来的氢原子定态薛定谔方程改写。

在这个新形式的哈密顿量中,第一项是关于质心运动的,而第二项与第三项是关于相对运动的,从而波函数的质心运动部分与相对运动部分可以分开。

代入到薛定谔方程之中,再利用分离变量法,就将原来的二体定态薛定谔方程,分解为质心运动部分与相对运动部分。

(二体定态薛定谔方程分解为质心运动部分与相对运动部分)

“可以看出,能量被分为质心运动能量与相对运动能量,其中质心运动能量对应的薛定谔方程,是描述电子与质子整体自由运动的方程,而相对运动能量对应的定态薛定谔方程,则是关于氢原子内部结构的方程,氢原子能级与氢原子的波函数将会从这个方程里导出。”张朝阳介绍。

“今后还要花四、五节课把氢原子的问题给算出来。”直播尾声,他告诉网友,“下一堂课,将探讨角动量问题。”

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